Taejunomics

            政治、経済、社会、哲学、芸術、文学、スポーツ、マイクロファイナンス、教育などなど、徒然なるままに書き綴ります。 ※お初の方はカテゴリー欄の「Taejunomicsについて」、をご覧ください。
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目から鱗的な話、3連荘。
 大学院で、まさしく「目から鱗」的なお話があったので、今日はそれを紹介します。 47thさん、ごめんなさい。。



 目から鱗的なお話:なぜ相関係数は-1から1の間なのか?

 相関係数というのは、二つの事柄の相関を表すもので、1であれば両者は完全に相関、-1であれば、完全に逆相関、0であれば無相関ということになります。 

 この相関係数ρ(ローと読みます)が、なぜ-1から1の間を取るのかについて、僕はただ純粋に、「そりゃあ、標準化した数値二つの共分散を採ればそうならーな」とだけ考えていました。

 しかし、太田先生の見せてくれた説明は、とても美しいものでした。

 以下、説明です:

 ①∑については、以下の性質がある。

 ∑(A×B)の2乗≦∑Aの2乗×∑Bの2乗

 これを、コーシー・シュワルツの不等式、と呼ぶ。

 
 ②ここで、両辺を「∑Aの2乗×∑Bの2乗」で割ってみる。

 すると、

 ∑(A×B)の2乗÷(∑Aの2乗×∑Bの2乗)≦1

 となる。


 
 ③∑(A×B)の2乗÷(∑Aの2乗×∑Bの2乗)は、定義より、相関係数の2乗になっている。

 
 ρの2乗≦1 


 ということは、ρは、同時に、ρ≧-1 となる(マイナス1より小さかったら二乗して1より大きくなってしまうから)。

 

 個人的には、めちゃめちゃ目から鱗だったんですね。 これがその一。


 目から鱗な話その2:共分散ってたまにおかしくない?

 もう一つ、この機会に、以前から持っていた疑問をぶつけてみました。

 それは、相関の定義についてです。

 上でも述べたように、相関係数がゼロならば、二つの確率変数は全くの無相関と言うことになります。 しかし、次のような場合を考えてみてください。

 X,Yの平均がゼロで、

 Xがプラスの数字なら、Yは必ずゼロ 
 Yがプラスの数字なら、Xは必ずゼロ


 一番単純な例では、こうなります。

 この場合、相関係数はゼロになります。 いうなれば、両者は全くの無相関なわけです。


 ですが、一般感覚からして、上の規則性について相関がゼロだというのはおかしいですよね。


 と、そんな事を授業中に質問してみました。

 
 帰ってきた答えは、これまた、(個人的には)目から鱗。


 「共分散、相関係数は、一次の線形関係しか表さないんです。」


 おお、なるほど。 


 目から鱗的な話その3:なんで税制上の課税対象利益と、会計上のそれは違うのか?
 
 これも、また、質問したら即答で返ってきました。

 「基本的な考え方が違うからです。 会計では、保守主義を原則とします。 しかし、税制では、事実との合致(それ以上もそれ以下もない)ということが原則なのです。」
 
 この、それ以上もそれ以下もない、というのは、租税法律主義、という考え方にも現れています。 税金は、法律の規定に従って、それ以上も、それ以下もなく、法に定めるのと同じ額を徴収しなければいけないのだ、と言う話でした。

 
 そして、税制の変更から、税効果会計が生まれたのですが、当事者しか知らない税効果会計誕生エピソードも聞くことが出来て、とても充実した授業でした^^




 
 僕は、勉強はほとんどのものは、一人で出来るものだと思っています。 学ぶものによっては、一人で学んだ方が効率がよかったりします。
 なら、人から習うことの最大の強みは、と言うと、自分の疑問をリアルタイムで返してもらえることにあると思うんですよね。 本は語りませんが、人は語るのです。
 

 最近、大学院で質問魔になりつつあります^^;が、頑張っていこうと思います。 おやすみなさい。
Comment
≪この記事へのコメント≫
相関係数のことですが、ρ^2<=1の証明方法はいくつかあります。
例えば、Introduction to Mathematical Statistics, Hogg Mckean and Craig, p.107 Ex.2.4.7
http://www.geocities.jp/econome_ishii/homework_6.pdf (解答)
関数 h(v)=E{[(X-μ1)+ν(Y-μ2)]^2} を微分する方法です。
行列表記では岩田暁一の経済分析のための統計的方法第2版12章p.322の演習問題となっています。

なお、おっしゃられるように相関係数は一次の線形関係の強さ、ようは比例関係の強さを表しています。±1の時はまさしく比例関係です。
したがって、数値だけを見るだけでなく、グラフ化するとより複雑な関係(2次以上など)を示していることも明らかになる場合があります。

私がこの大学院で良かったと思うことは、勉強に真剣な仲間に恵まれ、有意義な議論を交わすことで理解が深まり、疑問が解消することだと思っています。
基本的に勉強は孤独な作業ですが、一緒にがんばる仲間にいつも励まされています。
2006/04/27(木) 15:23:02 | URL | チキンワイヤー #-[ 編集]
 コメント有難うございます。
 
 おおっ、いろんな方法があるんですね。  
 グラフにしないと分からないことが多い、と知ることが出来ただけで、とんでもない落とし穴をひとつ避けることが出来そうですね。 有難うございます。

 チキンワイヤーさんも残り1年研究頑張ってください! 応援しています。
2006/04/30(日) 22:37:13 | URL | Taejun #-[ 編集]
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