Taejunomics

            政治、経済、社会、哲学、芸術、文学、スポーツ、マイクロファイナンス、教育などなど、徒然なるままに書き綴ります。 ※お初の方はカテゴリー欄の「Taejunomicsについて」、をご覧ください。
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Poon&Stapleton Asset Pricing in Discrete Time - ゼミの準備記事。
 池田先生が所属していたゼミでは、学生がレジュメを用意することが禁止され、発表者はチョーク一本で発表をしなければいけなかったそうです。
 
 これを明日はやってみようと思うのですが、相当にいい勉強になっています。 レジュメがあることに伴う甘えが許されないので、論理展開を徹底的に叩き込まないと、発表が不可能なのですよね。

 
 というわけで、何も見ていない状態で、書いてみます。 前回紹介したテキストの、第一章のまとめです。 (って、ゼミ生(もしかしたら先生も含む)の方もこのブログを見ているわけで、手の内を明かすのはとっても危険なわけですが…) 


 1.この章の目的
 2.前提条件と概念の説明
 3.確率的割引ファクター(SDF)を用いた、資産価格理論の記述:CAPM,APT,代表的経済主体モデル
 4.結び

 
 
 


 1.この章の目的

 この章の目的は、一期間モデルにおいて、SDFを用いて、資産価格理論をとらえることにあると解釈しています。

 資産価格理論は、究極的には、SDFの特定の仕方によって規定することが出来ます。 この発表では、その事を示そうと思います。
  
 SDFを用いた資産価格理論の規定の論理の筋道において、用いる道具には、大きく二つがあると考えられます。 一つは、共分散、もう一つはラグランジュ未定乗数法です。

 共分散には、二つの重要な性質があると考えます。 一つは、共分散は二つの確率変数の関係性を示す尺度であるということ。 次に、共分散は線型性を持つということ。
 よって、資産価格を何らかの共分散の一次式で示すことが出来るという事は、第一に、資産価格には、ある確率変数の、基準となる他の確率変数との関係性が反映されるということを意味し、第二に、その関係性をもとに、線型の価格付けが成立するという事を意味します。


 ラグランジュ未定乗数法は、制約付き期待効用最大化をはかる経済主体の最適解を導きます。 その結果、ある人(この本においては、それは代表的経済主体のわけですが)の期待効用を最大化しうる値として、SDFの形が特定されることになります。 共分散を用いた筋道に比べ、天下り的な特定の仕方と考えられます。

 
 以上で前置きを終了します。 

 
  

 2.前提条件と概念の説明

 1)まず、前提条件と概念の説明を行います。

 このテキストでは6つのassumptionが示されています。 その6つのうち、2つは問題のとらえ方の枠組みに関するもの、4つは論理展開のための仮定と言えるものと、私は考えます。

 最初の二つの前提条件は、次のようにいう事が出来ます:
 ①現時点であるtから、将来であるt+Tまでの間に、
 ②i(1、2、・・・、I)という有限の状態が発生する


 そして、4つの仮定は以下の通りです:
 ③市場は完備である:即ち資産の収益行列のランクは状態の数と等しい
 ④同質的期待形成:全ての人々の主観確率は等しい
 ⑤スポット・フォワード平価が成立する:無裁定
 ⑥全ての場合の状態証券を購入するのに要する価格は先物価格と等しい:価値の加法性(無裁定)
 
 
 また、本書においては、状態の数をさらに制限し、市場全体のキャッシュフローの場合の数を状態の数とします。 

 ※このような状態の事を、もとの状態を区別し、上位状態と呼び、上位状態に対応する状態証券の事を、quasi-pure securityと呼びます。 上位状態の数と、資産収益行列のランクが等しいときを、市場は実質的に完備であるといいます。

 実質的完備市場におけるパレート最適の達成による投資家の効用は、完備市場におけるそれと一致します。 そう考えると、実質的完備市場を想定したほうが、分析において効率がよいといえるのかもしれません。
 
 

 
  

 2)次に、概念の説明を行います。

 状態証券とは、将来の時点において、ある状態iが実現した場合においてのみ、一円を支払う証券の事です。 無裁定の仮定から、状態証券を全状態について購入した場合、その価格は、安全資産でニューメレール表示すると、一円となります。 また、無裁定の仮定より、状態証券の価格は正値になります。 合計が1で正値であるということは、確率の定義に他なりません。


 確率付け割引ファクター(SDF),価格付の核(PK)とは、その状態証券を、その状態証券に対応する確率で割ったものです。 そのため、時に、SDFは、probability deflated state priceと呼ばれることがあります。 
 
 仮定⑥を変形する事により、キャッシュフローをx、SDFをmとすると、
 先物価格=E(xm)を導くことが出来ます。 これを、式Aとしておきます。
 


 3.確率的割引ファクター(SDF)を用いた、資産価格理論の記述:CAPM,APT,代表的経済主体モデル

 さて、ここからは、実際にSDFを用いて、資産価格モデルを示して見ましょう。 最初に話したように、二種類の道具立てを用います。

 まずは、共分散を使う場合、すなわち、CAPMとAPTについてです。


 ・CAPM

  式Aを、共分散の定義式を用いると、

 E(xm)=E(x)E(m)+cov(x,m)
 
 と、変形することが出来ます。 ここで、mは、マーケットのキャッシュフロー(x*とします)の関数である事を思い出すと、

 F=E(xm)=E(x)E(m)-kcov(x,x*)  ---B式

 と出来ます。 ここで、k=-f'(x*)であり、この変形には、シュタインのレンマを用います。 導出の流れを保つために、この定理については全体の説明が終わった後に示すことにします。


 kをB式から消去するために、B式のxにx*を代入すると、

 k=(F*-E(x*))/var(x*,x*)

 を得ます。 これを、先に求めた式に代入すると、価格表示のCAPMを得られます。

 さらに変形をし、ベータを用いると、先物価格表示のCAPMを、最後にスポット・先物平価を想定すると、収益率表示の、私たちになじみのあるCAPMを見ることになります。


 ・APT
 金融資産の収益生成過程について、以下のように仮定します。
 
 x=a+∑fβ+ε

 です。 この式について、E(xm)をとり、展開していくことで、APTを得ることが出来ます。




 ・代表的経済主体モデル 

 代表的経済主体の制約付き期待効用最大化を解く事により、次のことが分かります。

 ・・・(途中経過、そろそろ眠いので省略)


 m=ある状態における限界効用/期待限界効用

 となったときに、代表的経済主体の期待効用は最大化されることになります。

 

 4.結び
 
 全体の流れは、こんな感じです。 あとは、細かい肉付けをしていく予定です。

 眠いですね。。 おやすみなさい。 明日、頑張ります。

 
Comment
≪この記事へのコメント≫
こんにちは

いつも役立つ情報ありがとうございます


私もサイトを開設しましたのでもしよろしければ

一回見に来てください


ではこれからも良い情報待っています


ではがんばってくださいね

2007/04/24(火) 03:21:31 | URL | 株で稼ぐ野郎 #-[ 編集]
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